Предполагается, что по SSH зашли под тем же пользователем, который зашёл на компьютер в GUI и локально. То есть зашли по SSH под логином john, и локально в GUI вход выполнен под пользователем john.
Допустим, нужно удаленно запустить Pidgin.
Выполняем по SSH команды:
export DISPLAY=:0
pidgin &
В итоге на удалённом компьютере запустится Pidgin.